看到標題，大家可能會問：「唔係掛，咁都有得証？你咪玩啦！」
其實要証明這個，所需數學技巧不過中四程度。也就是說，要証明「只要有恆心，鐵柱磨成針」很簡單，大家都可能曾經會証明。
要証明這個，首先要明白什麼是等比數列（如知道，可直接跳到正文）。等比數列，即是任何一項與其前一項相除，都會得出同一個數字的數列。 比方說：1, 2, 4, 8, 16, 32是一個等比數列，因為32/16=2, 16/8=2, 8/4=2, 4/2=2, 2/1=2。
在這個等比數列中，每一項與前一項相除都等於2，故我們稱2為公比。每一個等比數列都可以無限地寫下去，例如上面的數列，可以延長成：1, 2 ,4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048, 5096, ……在通常的情況下，將所有項相加，即1+2+4+8+16+32+64+128+……，由於每一項都愈來愈大，所以答案該為無限。
但當公比介乎於1及-1之間，例如0.5，那數列將變成1, 0.5, 0.25, 0.125, 0.0625,……。將所有項相加，即1+0.5+0.25+0.125+0.0625+……，由於每一項都愈來愈小，故我們可預期，答案該不是無限，而是一個數字。
至於那個數字是什麼，我們可以如此推出：
設一等比數列首項為a，公比為r (-1< r <1)，則數列為：a, ar, ar², ar³,……
設S為該數列所有項之總和
即：
S=a+ar+ar²+……
Sr = ar+ar²+ar³+……(將每一項乘上r)
S - Sr = a+ar+ar²+……-ar-ar²-ar³-……
S(1-r)=a (除a外，每一項都被抵消）
S=a/(1-r)
也就是說，總和等於首項除以一減公比。以上面的數列為例，a=1，r=0.5，總和=1/(1-0.5)=2。如果不相信的話，不妨用計數機將該數列不停加下去，你會發現答案不會超過2。
好，到正題，如何証明 「只要有恆心，鐵柱磨成針」呢？
首先，設某件事發生的機率為n (n≠0)，那麼，嘗試很多次後發生一次的機率為：
P(第一次就發生 或 第一次不發生及第二次發生 或 第一次及第二次都不發生及第三次發生 或 首三次都不發生及第四次發生 或……如此類推)
=P(第一次就發生) + P(第一次不發生及第二次發生) + P(第一次及第二次都不發生及第三次發生) + P(首三次都不發生及第四次發生) + ……
=n + (1-n)n + (1-n)(1-n)n + (1-n)(1-n)(1-n)n+ ……
=n + n(1-n) + n(1-n)² + n(1-n)³+……
與上面的a, ar, ar², ar³,……對照，發現a=n, r=(1-n)，這根本是等比數列的無限項總和，而且，由於機率n一定少於1，故可以代入上文所推出的公式S=a/(1-r)
=n / (1-(1-n))
=n / (1-1+n)
=n/n =1
即 假若某件事發生的機率為n (n≠0)，那麼，不停嘗試後，其發生機率為1。
結論：只要某事有可能發生，那麼不停嘗試後，就一定會發生。也就是說，「只要有恆心，鐵柱磨成針」！
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